Impressum
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Die Pioniere Oppenheim und Schafer prägten wie keine anderen die digitale Signalverarbeitung seit Beginn ihrer Entstehung bis heute. Dieses internationale und beste Standardlehrwerk für digitale Signalverarbeitung glänzt nicht nur wegen der didaktisch exzellenten Einführung für komplette Anfänger sondern auch wegen dem extrem nahen praktischen Bezug. Die Anwendbarkeit der sonst abstrakten mathematischen Methoden und Konzepten der Diskreten Mathematik und Analysis auf die Darstellung, Transformation und Manipulation von Signalen macht dieses Buch zu einem Muss für jeden Mathematik- und Informatikstudenten.
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Allgemeines zum Buch
Viele Mathematik- und insbesondere Informatikstudenten sind oft frustriert darüber, dass sie in der Analysisvorlesung nur Bahnhof verstehen und darüber hinaus denken, dass sie die dort vermittelte Theorie zum Beispiel über Folgen, Reihen und komplexe Funktionstheorie – niemals in der Praxis gebrauchen werden. Meist dann wird für sie das Lernen nur zum Selbstzweck. Man hofft, den Stoff nur insofern so gut zu verstehen, um die Prüfungen zu meistern.
Was den Lehrveranstaltungen oft fehlt, ist der praktische Bezug. Es fördert das Verständnis, das Unbekannte mit bekannten Konzepten zu verbinden und zu erklären. Den Praxisbezug über Rechenbeispiele aus der Teilchenphysik oder der Elektrodynamik herzustellen, bewirkt bei der überwiegenden Zahl der Studenten genau das Gegenteil. Der Mensch lernt visuell und akustisch am effektivsten, und mit diesem Buch bietet das Gebiet der Signalverarbeitung ein ideale Spielwiese, um das Gelernte begreifbar zu machen. Insofern ist dieses Buch absolut empfehlenswert für jeden Mathematikinteressierten und wurde deshalb von unserer Redaktion als mathematisches Fachbuch aufgenommen.
Digitale Signalverarbeitung ist aus unserem heutigen Leben nicht mehr wegzudenken. Ohne sie gäbe es kein Fernsehen, kein Radio, keine Ultraschalluntersuchungen und keine Digitalkameras – um nur einige wenige Anwendungen zu nennen, die von der Entwicklung in der digitalen Signalverarbeitung profitieren. Dieses umfangreiche Buch zur zeitdiskreten Signalverarbeitung gilt in Forschung und Lehre seit langem international zu den besten Standardardwerken für Anfänger und Fortgeschrittene auf diesem Gebiet. Das Lehrwerk baut auf den innerhalb der Systemtheorie gewonnenen Kenntnissen über Signale und Systeme auf und führt den Leser gezielt in die Methoden der digitalen Signalverarbeitung ein. Ausgehend von den Grundlagen zeigen die Autoren in gelungener didaktischer Aufbereitung anhand zahlreicher Beispiele, Übungen und Aufgaben die Anwendung in der Praxis. Der Leser sollte aber keinen Pseudo-Code für die diskutierten Algorithmen und signalverarbeitenden Systeme erwarten. Vielmehr wurde eine übersichtlichere Repräsentation durch Blockschaltbilder gewählt, bei der die Blöcke durch mathematische Funktionen definiert werden.
Zum Inhalt des Buches
Einführung. Die Signalverarbeitung besitzt eine lange und ereignisreiche Geschichte und hat viele Fachgebiete beeinflusst, so beispielsweise die Unterhaltungselektronik, die Kommunikation, die Weltraumforschung, die Medizin, das Militär oder die Archäologie. Sieht man in die Zukunft, wird deutlich, dass die Signalverarbeitung in unserer Gesellschaft immer stärker an Bedeutung zu nimmt, wobei maßgeblich der Computer die Entwicklung voran treibt.
Die Signalverarbeitung befasst sich mit der Darstellung, der Transformation und der Manipulation von Signalen und der darin enthaltenen Informationen. Signale können gefiltert, gemischt, getrennt, verstärkt, dupliziert, moduliert, komprimiert oder verformt/entfremdet werden. Und das alles möglichst in Echzeit.
Die Problematik der Signalverarbeitung erstreckt sich natürlich nicht nur auf eindimensionale (akustische) Signale. Für viele Anwendungen in der Bildverarbeitung (Video-Codierung, Satellitenübertragung) müssen zweidimensionale Signalverarbeitungstechniken angewandt werden. Werden seismische Daten analysiert und transformiert, um zum Beispiel Erdölfelder zu erkunden oder Erdbebenmessungen durchzuführen, steht man vor der Aufgabe, dreidimensionale Signale zu verarbeiten.
Das Gebiet der zeitdiskreten Signalverarbeitung entwickelte sich bereits über einen langen Zeitraum. Seit der Erfindung der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert haben Wissenschaftler und Ingenieure Modelle entwickelt, um physikalische Erscheinungen als Funktionen kontinuierlicher Variabler und mit Hilfe von Differentialgleichungen zu beschreiben. Zum Lösen dieser Gleichungen wurden numerische Techniken eingesetzt, wenn analytische Lösungswege nicht mehr zum Ziel führten. Ziel dieser Untersuchungen war es, die Signalverarbeitung mittels analoger Systeme mit mechanischen und elektronischen Bauelementen zu realisieren. Die Verfahren sind meist sehr kompliziert, teuer und erfordern neben dem hohen mathematischen Know-How auch weitreichende Kenntnisse in der Elektrotechnik.
Mit dem Einzug der Digitalrechner wurden die analogen Signalverarbeitungssysteme erst simuliert, bevor sie gebaut wurden. Seit einigen Jahren sind Computer so schnell, dass nicht nur Simulationen in Echtzeit durchgeführt werden, sondern dass die Algorithmen so anspruchsvoll wurden, dass sie mit analogen System nicht mehr realisierbar waren. Es entstand die zeitdiskrete (also digitale) Signalverarbeitung als wichtiges und eigenständiges Gebiet, das mit Methoden der diskreten Mathematik zum Teil beschrieben werden kann: Stetige Funktionen werden zu Folgen, schwierige Differentialgleichungen werden zu einfachen Differenzengleichungen und böse Integrale werden durch oft harmlose Summen gebändigt – also gibt es nichts, vor dem der Leser in den folgenden Kapitel Angst haben muss.
Zeitdiskrete Signale und Systeme. In der zeitdiskreten Verarbeitung betrachtet man Signale als Folge von Abtastwerten analoger Signalen. Auf einfache Weise kann man eine Folge bzw. das dazugehörige Signal verzögern oder mit einer Konstanten multiplizieren oder addieren. Zwei Folgen können ebenso einfach addiert oder multipliziert (gefaltet) werden. Es entstehen so neue Signale und eine Operationen auf Folgen kann als Signalverarbeitungssystem aufgefasst werden, das Eingangssignale auf Ausgangssignale abbildet. Solche Systeme können auf sehr viele Eigenschaften untersucht und in Systemklassen eingeteilt werden, je nach dem, wie sie eine Eingangsfolge auf eine Ausgangsfolge abbilden. Mit der Hintereinanderschaltung von Systemen lassen sich so schon sehr komplexe und interessante Systeme bauen, wie zum Beispiel ein Echoeffekt oder ein Tiefpassfilter.
Jedes Signal (in einem Zeitfenster) kann als Überlagungen von (i.d.R unendlich vielen) Sinusschwingungen dargestellt werden. Diese Sinusschwingungen haben unterschiedliche Frequenzen und Amplituden. Man sagt, das Signal hat verschiedene Frequenzanteile. Mit der sogenannten Fouriertransformation lassen sich die Frequenzanteile berechnen und zum Beispiel als graphischer Equalizer visualisieren. Generell ist es nicht notwendig, die Einzelheiten eines zu Grunde liegenden Algorithmus, wie z.B. der Fourier-Transformation, zu verstehen. Entscheidend ist jedoch, dass der Leser weiß, was berechnet wird und wie das Ergebnis zu interpretieren ist.
Die z-Transformation. In Kapitel 2 wurde die Fourier-Transformation eingeführt, die für die Analyse und Darstellung von Signalen eine wichtige Rolle spielt. Es zeigt sich, dass die Fourier-Transformation nicht auf alle Folgen anwendbar ist. Die z-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation, die eine umfangreichere Klasse an Signalen umfasst und ist für zeitdiskrete Signale das Gegenstück zur Laplace-Transformation bei zeitkontinuierlichen Signalen. Der Schwerpunkt des Kapitels liegt in den grundlegenden Theoremen und Eigenschaften der z-Transformation.
Die Abtastung zeitkontinuierlicher Signale. Digitale Signale enstehen am häufigsten durch die Abtastung analoger Signale. Es ist erstaunlich, dass unter bestimmten Bedingungen ein analoges Signal in ein digitales Signal und wieder zurück in ein analoges Signal ohne Informationsverlust umgewandelt werden kann. Das Shannon-Theorem besagt, dass dafür eine Abtastfrequenz gewählt werden muss, die mindestens doppelt so groß ist, wie der im Signal enthaltende maximale Frequenzanteil. Ist das nicht der Fall, entstehen Artefakte – wie das sogenannte Aliasing – und das analoge Signal kann nicht mehr aus dem digitalen Signal rekonstruiert werden. In der Praxis wird meistens das analoge Signal bandbreitenbegrenzt, das heißt, es werden hohe Frequenzen herausgefiltert, und mit einer entsprechend hohen Abtastfrequenz ein digitales Signal konstruiert.
Darüber hinaus können in digitalen Systemen die abgetasteten Amplituden nur endlich viele Werte annehmen – die Amplitude wird quantisiert. Je höher die Bitrate (=Anzahl Bits, die für die Codierung der Amplitude benutzt werden) und je höher die Abtastfrequenz sind, desto genauer ist das digitale Signal am analogen Original und desto größer sind die zu verarbeitenden digitalen Daten. Laut Shannon-Theorem und mit Hilfe einer Interpolation der Amplituden bei der Rückwandlung in ein analoges Signal können die Bitrate und die Abtastfrequenz den Anwendungsfällen und der Leistung des signalverarbeitenden Systems angepasst werden.
Analyse linearer zeitinvarianter System mittels Transformationen. Lineare zeitinvariante Systeme sind eine besonders einfach zu handhabende Systemklasse. Sie lassen sich sehr leicht analysieren. So läßt sich das System vollständig durch dessen Antwortsignal auf einen Impuls (=Eingangssignal, dessen Abtastwerte – bis auf genau einen – alle Null sind) beschreiben. Jedes Eingangssignal kann nun als Summe von Impulsen dargestellt werden. Das dazugehörige Ausgangssignal bei linearen zeitinvarianten Systemen ist dann die Summe der einzelnen Impulsantworten, d.h. die Signale die am System wieder herauskommen, wenn die Impulse separat durch das System “geschickt” werden.
Diese Systeme haben den entscheidenen Vorteil, dass sie durch einfache Differenzengleichungen beschrieben werden können. Die oben angesprochene z-Transformation wandelt eine solche Differenzengleichung in eine algebraische Gleichung um. Die Nullstellen dieser Gleichung liefern eine nützliche Systemdarstellung bzw. -charakterisierung in Form eines sogenannten Pol-Nullstellen-Diagramms.
Strukturen zeitdiskreter Systeme. Bei der Implementierung von digitalen Systemen gibt es viele Aspekte zu berücksichtigen, die vor allem auf die beschränkte Darstellung von reellen Zahlen und das notwendige Runden zurückzuführen sind. Die Systeme müssen in ihrer Struktur so entworfen werden, dass die entstehenden Fehler möglichst klein gehalten werden. In diesem Kapitel werden für die Beschreibung der Struktur bzw. der beteiligten Komponenten Blockschaltbilder und Signalflussgraphen eingeführt und für den Systementwurf benutzt.
Verfahren für den Filterentwurf. Während im Kapitel 6 die Darstellung und die Realisierung linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten behandelt wurden, werden in diesem Kapitel die Verfahren vorgestellt, mit denen die Koeffizieten bestimmt werden können, um ein gewünschtes Systemverhalten zu approximieren. Der Entwurf von Filtern erfordert dabei unterschiedliche Entwurfverfahren, die hier im Detail besprochen werden.
Die diskrete Fourier-Transformation. Die diskrete Fourier-Transformation hat eine große Bedeutung bei der Implementierung einer Vielzahl digitaler Signalverarbeitungsalgorithmen. Sie kann sehr effizient berechnet werden. Im Gegensatz zur der im Kapitel 2 besprochenen Fourier-Transformation ist die diskrete Fouriertransformation auf endlichen Signalfolgen definiert. Dazu werden zunächst periodische Folgen besprochen, bei der jede Periode mit der endlichen Folgen identisch ist. Es zeigt sich, dass die Darstellung der periodischen Folge als Fourier-Reihe genau der diskreten Fourier-Fouriertransformation der endlichen Folge entspricht.
In diesem Kapitel geben die Autoren auch eine Einführung in die diskrete Cosinustransformation, die eine immer wichtigere Rolle bei vielen Anwendungen einschließlich der Kompression von Audio- und Videosignalen spielt.
Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten. Es gibt eine Vielzahl von Algorithmen zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten. Es lohnt sich die vorgestellten Algorithmen zu untersuchen, zu analysieren und zu diskutieren. Dazu gehören unter anderen der Goetzel-Algorithmus, die schnelle Fourier-Transformation, die Chirp-Transformation und der Winograd-Algorithmus. Es werden auch die Auswirkungen der endlichen Wordbreite und die Verwendung von Gleitkomma-Darstellungen bei der Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten diskutiert.
Fourier-Analyse von Signalen mittels der diskreten Fourier-Transformierten. Eine der wichtigsten Anwendungen der Signalverarbeitung ist die Spektralanalyse von Signalen. Auf Grund der Effizienz benutzen viele Verfahren für die Spektralanalyse zeitkontinuierlicher oder zeitdiskreter Signale die diskrete Fourier-Transformation entweder direkt oder indirekt. In diesem Kapitel werden einige dieser Verfahren untersucht und veranschaulicht. Die diskrete Fourier-Transformation spielt auch eine wichtige Rolle bei der Analyse stationärer Zufallssignale.
Hier kommen die entwickelten Konzepte und Verfahren für endliche Signale zum tragen, da unendliche Signale genau oder näherungsweise mit den Konzepten der Fensterung, der Blockverarbeitung und der zeitabhängigen Fourier-Transformation in Einklang gebracht werden.
Diskrete Hilbert-Transformation. Die Hilbert-Transformation wird dazu genutzt, um aus einem reellwertigen Signal die sogenannte analytische Funktion zu gewinnen, d. h. den entsprechenden Imaginärteil zu ergänzen. Damit kann man mit relativ geringem Aufwand die Phase des Signals berechnen. Amplitude und Phase (bzw. Real- und Imaginärteil) sind nicht unabhängig von einander, jedoch erfordert die Spezifikation der Fourier-Transformierten einer Folge die vollständige Kenntnis entweder des Real- und des Imaginärteils oder der Amplitude und der Phase für alle Frequenzen.
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