Impressum
 Vergrößern
|
Der berühmte Mathematiker Paul Erdös erzählte gern von dem BUCH, in dem Gott die perfekten Beweise für Theoreme aufbewahrt. Ausgehend von vielen Vorschlägen, die Erdös selbst gemacht hat, haben Martin Aigner und Günter Ziegler schöne und elegante Beweise aus vielen Bereichen der Mathematik (Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, Kombinatorik und Graphentheorie) gesammelt. Es werden dabei etliche tiefe Aussagen mit Methoden bewiesen, die über elementare Argumente nicht hinausgehen.
|
Allgemeines zum Buch
Mitte der neunziger Jahre schlugen Martin Aigner und Günter Ziegler dem ungarischen Mathematiker Paul Erdös vor, gemeinsam eine erste (und sehr bescheidene) Annäherung an das BUCH aufzuschreiben. Erdös hatte die Idee zu diesem ungewöhnlichen Buch enthusiastisch aufgegriffen. Er glaubte, Gott habe die elegantesten Beweise der Mathematik in ein Buch geschrieben. Denn schon der englische Mathematiker G. H. Hardy bemerkte: “Es gibt keinen Platz in der Welt für hässliche Mathematik.” Die Fertigstellung der ersten englischen Version “Proofs from the BOOK” im Jahre 1998 erlebte Erdös jedoch nicht mehr, da er im September des Jahres 1996 verstarb. Mittlerweile ist dieses Werk in insgesamt 10 Sprachen übersetzt worden. Die deutsche Version liegt nun in der zweiten gebundenen Auflage vor und umfasst insgesamt 271 Seiten.
Beide Autoren lassen offen, was einen Beweis zu einem BUCH-Beweis macht. Jedoch spürt der Leser die zunehmende Spannung während der kurzen und eleganten Beweisführungen und wie brillianten Ideen faszinierende Überraschungsmomente hervorrufen. Viele BUCH-Beweise sind mehrere hundert Jahre alt und andere wiederum gehen auf Erdös selbst zurück.
Das BUCH ist zwar an mathematisch interessierte Leser gerichtet, doch wird das Lesen des BUCHes erst dann zum richtigen Vergnügen, wenn man die Grundvorlesungen der Analysis und Algebra gehört hat. Das Ende eines jeden Kapitels hält zudem einige Definitionen und Erläuterungen der Beweistechniken für den Leser bereit. Man ist gut beraten, Stift und Papier für eigene Gedankengänge zur Hand zu haben, um die zum Teil groben Beweisideen für sich selber noch einmal detaillierter zu entdeckt. Das besondere an diesem Buch ist auch der extra breite Rand für eigene Notizen.
Zum Inhalt des Buches
Nach einem kurzen Vorwort machen sich beide Mathematiker sofort ans Eingemachte und präsentieren Euklids berühmten Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen. Dieser vielzitierte Beweis stammt aus Euklids Buch “Die Elemente”. Anschließend folgen noch fünf weitere Beweise über die Unendlichkeit der Primzahlen. In dem von Erdös gegebenen Beweis wird sogar gezeigt, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergent ist.
Auch im Kapitel 2 ziehen uns die Primzahlen in ihren Bann. Es wird mit vielen eleganten Abschätzungen gezeigt, dass zwischen einer Zahl und ihrem Doppelten immer mindestens eine Primzahl liegt (Bertrandsche Postulat). Auch dies beweist die unendliche Anzahl aller Primzahlen, jedoch liefert der Beweis zusätzlich eine Asymptote, die kleiner gleich einer beliebig gewählten Zahl ist. Im dritten Kapitel wird dieses Resultat noch verallgemeinert, wobei die Binomialkoeffizienten unter die Lupe genommen werden.
Im vierten Kapitel des BUCHes, wird die Frage “Welche Zahlen können als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden?” beantwortet, die übrigens auf Fermat zurückgeht. Zum letzten Mal in diesem Buch werden die Primzahlen (mit einer der beide Darstellungen 4n+1 und 4n+3) eine Rolle spielen.
Bei der Charakterisierung von endlichen Schiefkörpern im Kapitel 5 begegnen uns die komplexen Zahlen, die Einheitswurzeln und deren erzeugende Polynome.
Kapitel 6 beschäftigt sich mit dem Nachweis, dass die Kreiszahl 
und deren Quadrat, sowie die Eulersche Konstante e und deren Potenzen irrational sind. Dabei braucht der Leser lediglich grundlegende Kenntnisse der Integration und Differentation von Polynomen.
Das siebten Kapitel beendet den Exkurs in die Zahlentheorie mit einigen Grenzwertbetrachtungen von unendlichen Reihen. Das Highlight dieses Abschnittes sind die geschickten Koordinatentransformationen, bei denen der Leser mit der berühmten Riemannsche Zetafunktion in Berührung kommt.
Die darauffolgenden acht Kaptitel behandeln wichtige Fragestellungen der Geometrie und Topologie. So hält Kapitel 8 einen Beweis für das dritte der 23 Probleme bereit, die David Hilbert in seinem legendären Vortrag zur Jahrhundertwende auf dem Internationalen Mathematikerkongress motivierte. Bei diesem Problem geht es um die Zerlegung und Ergänzung von Polyedern. Dabei ist der Ansatz mit Hilfe von Methoden aus der Linearen Algebra besonders anschaulich.
Kapitel 9 und 10 stellen zwei sehr anschauliche Geraden-Probleme vor. Im Ersten von den beiden wird gezeigt, dass für jede Anordnung von Punkte, so lange sie nicht alle auf einer Geraden liegen, mindestens eine Gerade existiert, die genau zwei der Punkte enthält. Desweiteren betritt der Leser zum erstem Mal in diesem Buch das Feld der Graphentheorie.
Die berühmte Eulersche Polyeder-Formel n-e+f=2 für zusammenhängende ebene Graphen mit n Knoten, e Kanten und f Gebieten wird im Kapitel 11 bewiesen. Überraschend dabei ist, der nicht-induktive Beweis. Anschließend folgen einige fundamentale Aussagen über ebene Graphen und einige nicht triviale aber überraschende Anwendungen der Eulerschen Polyeder-Formel auf Punkt-Geraden-Konfigurationen.
Der Starrheitssatz von Cauchy besagt, dass ein konvexes Polyeder bereits durch die Form und Anordnung seiner Seitenflächen (Facetten) eindeutig bestimmt ist. Kapitel 12 verfolgt dabei im Wesentlichen den Originalbeweis von Cauchy.
Im dreizehnten Kapitel geht es um Simplexe. Ein Simplex ist die konvexe Hülle von n+1 Punkte im n-dimensionalen Raum, so dass jeder Punkt das n-dimensionale Simplex in eine andere Dimension erweitert. Dabei stellt sich die Frage, wieviele n-dimensionale Simplexe man im n-dimensionalen reellen Vektoraum anordnen kann, so dass sich je zwei Simplexe einander berühren.
Erdös vermutete, dass jede Menge mit mindestens 
vielen Punkten einen stumpfen Winkel bestimmt. Mit dieser Vermutung beschäftigt sich das vierzehnte Kapitel.
Das letzte fünfzehnte Kapitel der Geometrie diskutiert die Borsuk-Vermutung. Dabei geht es um die Zerlegung von n-dimensionalen Simplexen in höchstens n+1 viele Simplexe mit kleinerem Durchmesser.
Die Themen der weiteren zwanzig Kapitel kann dem folgenden Inhaltsverzeichnis entnommen werden.
Inhaltsverzeichnis
