Impressum
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Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, wußte schon Euklid. Sein Beweis gilt bis heute als ein BUCH-Beweis - elegant, knapp und zwingend. Die Primzahlen scheinen jedoch chaotisch oder zufällig über den Zahlenstrahl verteilt zu sein. Seit mehr als hundert Jahren sucht man nach der exakten Primzahlverteilung. Der letzte Schlüssel ist die Riemannsche Vermutung, von deren Beweis man sich entscheidenes Wissen über den Aufbau der Zahlenwelt verspricht. Die Riemannsche Vermutung macht Aussagen über die Nullstellen der sogenannten Riemannschen Funktionen. Sautoy schafft es in diesem populärwissenschaftlichen Buch ohne eine Formel, dem Leser in dieses spannende Gebiet einzuführen. Dabei trifft der Leser auf viele bekannte Mathematiker und deren Beiträge zur Riemannschen Vermutung. Absolut empfehlenswert!
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Allgemeines zum Buch
Dieses fast 400-seitige Buch liegt in broschürter Auflage bislang in 10 Sprachen vor. Es richtet sich sowohl an mathematisch-interessierte Leser und biete auch für Fachleute einen guten Einstieg mit vielen weiterführenden Quellen. Jedenfalls lohnt sich auch ein kurzer Besuch der zum Buch gehörigen Seite oder eines dazugehörigen Artikels von du Sautoy. Ganz gespannt darf man auch auf das bald (4.2.2008) erscheinende Buch “Finding Moonshine” sein.
Zum Inhalt des Buches
Die zentrale Frage in diesem Buch lautet: Gibt es eine Formel, mit der sich die Primzahlen erzeugen lassen? Irgendeine Vorschrift, mit der sich zum Beispiel die 1000. Primzahl schnell berechnen lässt. Doch selbst nach zweitausend Jahren intensiver Suche entziehen sich die Primzahlen allen Versuchen, in ihnen irgendwelche einfachen Muster zu entdecken. Hat die Natur vielleicht gar keine konstruktive Art, wie sie die Primzahlen ausgewählt hat. Es brauchte schon einen genialen Geist von Mathematikern wie Euler, Gauss, Riemann, Ramanujan oder Erdös, in den von Chaos und Zufall strotzenden Primzahlen, Muster aufzuspüren.
So fand Gauss heraus, dass zwischen den Zahlen 1 und N ungefähr N/Log(N) viele Primzahlen liegen. Aber leider nur ungefähr. Hätten wir eine exakte Formel, dann könnten wir die Primzahlen wie folgt aufspüren. Wenn man die Zahl 100 in die Formel eingibt, erhält man 25, da es 25 Primzahlen gibt, die kleiner gleich 100 sind. Für 101 würde die Formel 26 liefern. Das sagt uns, die Zahl 101 muss eine Primzahl sein.
Was hat das Ganze – laut Buchtitel – mit Musik zu tun. Sautoy bedient sich dabei musikalischen Allegorien, um die abstrakten Strukturen der Mathematiker dem Leser verständlich näher zu bringen. Die Musik der Primzahlen hängt dabei stark mit der Tatsache zusammen, wie verschiedene Instrumente den gleichen Ton spielen, aber dennoch völlig verschieden klingen. Musikinstrumente geben nämlich nicht nur reine Sinus-Schwingungen je nach Tonhöhe ab, sondern noch sogenannte Obertöne, das sind Frequenzen (bzw. Sinus-Schwingungen), die meist im ganzzahligen Vielfachen der gespielten Töne klingen, also höhere Töne. Diese mitschwingenden Töne werden in der Regel nach oben hin immer leiser. Sie werden kaum bewußt wahrgenommen, aber ergeben den charakteristischen Klang eines Instrumentes. Man spricht davon, dass sich der charakteristische Klang eines Instrumentes als Überlagerung von einer Reihe gewisser Sinus-Schwingungen ergibt. Würde man einige weglassen, würde sich das Klangbild ändern.
Ähnlich ist es mit den Primzahlen. Sie geben einen “Ton” wieder, der aber nicht durch eine Sinusfunktion ausgedrückt wird, sondern durch die oben bereits erwähnte Funktion N/Log(N). Leider fehlt es dieser Funktion auch an gewissen “Obertönen”, damit die sich ergebenen “Musik” die der Primzahlen ist. Mathematiker sind nun bemüht, alle Obertöne zu finden, um die Funktion exakt zu machen. Grafisch sehr gut veranschaulicht, hat du Sautoy dies in seinem Online-Artikel über die Musik der Primzahlen.
Inhaltsverzeichnis
